Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Geometrische Konstruktionen (2)

Geometrische Konstruktion Nr. 7:
Dies ist eine geometrische Konstruktion von Kurt Hofstetter (2002). Sie kommt mit einer Linie und vier Kreisen aus. Zwei Punkte P1 und P2 liegen im Abstand von r auf einer Geraden. Um den Punkt P1 wird der Kreis K1 mit dem Radius r geschlagen sowie der Kreis K2 mit dem Radius 2r. Um den Punkt P2 wird analog der Kreis K3 mit dem Radius r geschlagen sowie der Kreis K4 mit dem Radius 2r. Wir erhalten 4 Schnittpunkte der Kreise: K1 schneidet sich mit K3 in A und in B, K2 und K4 schneiden sich in C und D. Die Streckenabschnitte zwischen den Schnittpunkten A, B, C und D stehen untereinander im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Eine Weiterentwicklung dieser Konstruktion findet sich in Konstruktion 9. Eine systematische Analogie findet sich in den Konstruktionen 29, 30 und 31.

Geometrische Konstruktion Nr. 8:
Dies ist eine geometrische Konstruktion von Kurt Hofstetter (2002), eine Modifizierung der Konstruktion Nr. 7, die alleine mit dem Zirkel auskommt. Zur Konstruktion braucht man fünf Kreise. Man beginnt mit einem Kreis K1 um den Punkt P1. An einer beliebigen Stelle des Kreises, P2, setzt man den Zirkel zur Konstruktion des Kreises K3 mit dem selben Radius r durch P1 an. P1 und P2 haben den Abstand r. Es werden die beiden Schnittpunkte A und B erhalten. Mit dem Zirkel setzt man in B an und überträgt A auf E und F (blauer Kreis). Um P2 wird ein Kreis K4 durch F und um P1 ein Kreis K2 durch E geschlagen. K2 und K4 schneiden sich in C und D. Die Streckenabschnitte zwischen den Schnittpunkten A, B, C und D stehen untereinander im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Geometrische Konstruktion Nr. 9:
Diese Konstruktion ist eine weitere von Kurt Hofstetter (2006). In vier Schritten (1 Gerade, 3 Kreise) wird auf eine für Hofstetter typische Weise (vgl. Konstruktionen 7, 20 und 21) der Goldene Schnitt durch ineinandergreifende Kreise gebildet. Um genau zu sein - der Goldene Schnitt wird hier nicht als Teilung oder Verlängerung einer gegebenen Strecke erzeugt, sondern es werden drei Punkte in der Ebene definiert, deren Abstände zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.

Die zu erweiternde Strecke DG ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks, das um sie herum erzeugt wird. Zwei Punkte haben einen Abstand AB. Um A und um B wird jeweils ein Kreis K1 und K2 mit dem Radius AB geschlagen. Der gemeinsame Schnittpunkt sei D. Das Lot auf die ursprüngliche Strecke AB ergibt G, der Abstand DG ist die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ABD. Durch G wird um B ein dritter Kreis K3 geschlagen, der Radius ist dabei AB/2. Der Kreis K3 hat zwei Schnittpunkte E und F mit dem Kreis K1 um A. Die Strecken DG und DF bilden das Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Zum Beweis wird ein weiterer Kreis K4 mit dem Radius AB um den Schnittpunkt D geschlagen. Naturgemäß geht er durch die Punkte A und B. Dabei wird ein Schnittpunkt L mit Kreis K3 erzeugt. L wird zum Mittelpunkt zweier weiterer Hilfskreise K5 und K6, K5 mit dem Radius LB und K6 mit dem Radius AB. Achtung, K5 geht nicht durch A, K6 geht nicht durch K. K2, K3, K5, K6 sowie die Strecke DF bilden eine Figur, von der in Konstruktion 7 bereits bewiesen wurde, daß der Schnittpunkt M zwischen K3 und K5 die Strecke DF im Goldenen Schnitt teilt. Hier ist sie nur etwas aus der Horizontalen verdreht. Aus der Dreieckslehre folgt, daß die Strecken DG und MF gleich lang sind, daß sich also der Beweis aus Konstruktion 7 auf die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ABD ausdehnen läßt.

Geometrische Konstruktion Nr. 10:
Noch eine Konstruktion von Lemoine (1902), aufgegriffen und modifiziert von Hofstetter im Jahre 2003, die den Goldenen Schnitt in 5 Schritten anhand einer Geraden mit 4 Kreisen erzeugt. Auf einer Geraden seien zwei Punkte P1 und P2 im Abstand von r festgelegt. K1 sei ein Kreis mit dem Radius r um P1, K2 sei ein Kreis mit dem Radius r um den Punkt P2. Beide Kreise schneiden sich in A und B. Ein dritter Kreis K3 mit ebenfalls einem Radius r wird um den schnittpunkt B geschlagen. Der Schnittpunkt zwischen den beiden Kreisen K1 und K3 sei Punkt C. Der Schnittpunkt zwischen K3 und der Strecke AB sei der Punkt D. Um Punkt C wird ein vierter, größerer Kreis K4 so geschlagen, daß er durch D verläuft. Der Schnittpunkt von K4 mit der ursprünglichen Linien P1P2 ergibt den Punkt E. E teilt die Strecke P1P2 im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

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