Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Zahl des geometrischen Wachstums bzw. der geometrischen Teilung

Stetige Teilung einer Strecke
Hat man eine bereits im Goldenen Schnitt geteilte Strecke, so können beliebig viele Goldene Schnitte nach außen und nach innen abgetragen werden: Mit dem Zirkel wird jeweils die kleinere Strecke in die größere abgetragen. Der Schnittpunkt teilt die größere Teilstrecke wiederum im Goldenen Schnitt.

a/b = b/c = c/d = d/e usw.

Umgekehrt kann immer die jeweils größere Teilstrecke mit dem Zirkel nach außen abgetragen werden. Der Mittelpunkt des Kreises teilt die neue Gesamtstrecke im Goldenen Schnitt.

Echte Fibonacci-Rechtecke
Ein Quadrat wird zum Rechteck verlängert, wobei die Diagonale des gesamten Rechtecks und die Diagonale des angestückelten Rechtecks senkrecht zueinander stehen. Der Winkel zur Diagonalen beträgt 31.7175° bzw. 58.2825°. Die Diagonalen schneiden jede nach dem gleichen Prinzip neu gezogene Linie in das richtige Verhältnis.

mit a/b = b/c = c/d = g

Die Diagonalen zeigen ebenfalls dieselben Proportionen:

mit p/q = q/r = r/s = g

Für die Diagonalen gelten: und etc.

Die Rechtecke, deren Seiten im Verhältnis des Goldenen Schnittes zueinander stehen, nennt man Goldene Rechtecke. Wenn wir das beliebig weiterführen, erhalten wir selbstähnliche echte Fibonacci-Rechtecke wie folgt:

Spirale:
Wird in jedes der Quadrate, deren Seitenlängen zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen, ein Viertelkreis einbeschrieben, erhält man eine Goldene Spirale:

Eine solche Spirale bildet z. B. die Schale eines Nautilus.

Selbstähnlichkeit:
Die oben dargestellten Generator-Konstruktionen lassen sich unendlich durch immer neue Anwendung des Expansionsprinzipes vergrößern bzw. verkleinern (stetige Teilung), wobei auch alle jeweils neuen Strecken mit den vorhandenen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen. Das Prinzip ist beliebig fortsetzbar. Der Goldene Schnitt ist damit die einfachste Form einer Selbstähnlichkeit!

Daraus ergeben sich auch die entsprechenden Formate (links), im Gegensatz zu den DIN-Formaten (rechts):

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